従来はファイル送受信が無制限だったSkype。
最近ファイルサイズ最大300MBに制限され、それ以上はOneDrive共有を求められるロジックになっているようです。 

更にWeb版を正式版に昇格したと見てよさそうです。
キャプチャ
以前はダウンロードの下に小さくβ版の表記でリンクが貼ってありました。
ところが、つい最近になってクイックスタートというボタンに置き換わったことから、Skype for WebがBeta版から昇格したと見て良さそうです。 
(続きもあります。P2Pファイル送受信方法の代替について説明しています。) 
ちなみに、300MB以上のファイルをP2Pでやり取りする方法が無いわけではありません。
ブラウザ間でP2Pファイル送受信が出来る、WebRTCという便利なものがあり、これを利用したサービスで代替することが出来ます。利用は自己責任で。

その1. reep.io
その2. bitf.ly

どちらを使っても基本的に同じことが出来ます。
注意があるとすれば、ファイルの送受信が完全に完了するまでは、ブラウザのタブを消去せず、かつ通信を維持し続けなければいけないということです。もし、維持に失敗したらもう一度最初からお試しください。