マシュマロにしたXperia Z2、実はアップデートしてからというもの、Androidシステムが異常暴走してDeep Sleepに入らなくなっちゃいました。

こういったときの対処として1番手っ取り早いのはやっぱり初期化。
メジャーアップデートの時には初期化を掛けてしまったほうが良さそうです。
ちなみに、Google Play開発者サービスのインストールし直しなどを幾つか試しましたが解決せず、システムとユーザーデータの整合性等何かがおかしかったのかもしれません。
バックアップとリセットのところから、初期化をしたところDeep Sleepに入りまくりです。 
但し、昔のXperia S世代のとは違い、デフォルトで内部ストレージ全消去らしく、データ領域だけの消去は出来ないようなのでご注意ください。